YOUNGIN MODUULI: LASKENTA, SOVELLUKSET, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - FYYSINEN - 2025

Youngin moduuli tai kimmokerroin on vakio liittyvät veto- tai puristus vastaavien lisäystä tai vähennystä pituus, joiden tavoitteena näiden voimien.

Esineisiin kohdistetut ulkoiset voimat eivät voi vain muuttaa niiden liikettä, vaan myös kykenevät muuttamaan muotoaan tai jopa rikkoutumaan tai murtumaan.

Kuva 1. Kissan liikkeet ovat täynnä joustavuutta ja armoa. Lähde: Pixabay.

Youngin moduulia käytetään tutkimaan materiaalissa syntyviä muutoksia, kun vetolujuus tai puristusvoima kohdistuu ulkoisesti. Se on erittäin hyödyllinen aiheissa, kuten tekniikka tai arkkitehtuuri.

Malli velkaa nimensä brittiläiselle tiedemiehelle Thomas Youngille (1773-1829), joka suoritti materiaalitutkimuksia, joissa ehdotettiin eri materiaalien jäykkyyden mittaa.

Mikä on Youngin malli?

Youngin malli on mitta jäykkyydestä. Materiaaleissa, joissa on matala jäykkyys (punainen), muodonmuutoksia esiintyy enemmän jatke- tai puristuskuormituksen alla. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Kuinka paljon esine voi vääristyä? Tätä insinöörit haluavat usein tietää. Vastaus riippuu materiaalin ominaisuuksista ja siinä olevista mitoista.

Voit esimerkiksi verrata kahta alumiinista valmistettua tankoa, joiden mitat ovat erilaiset. Jokaisella on erilainen poikkileikkauspinta-ala ja pituus, ja molemmille kohdistetaan sama vetolujuus.

Odotettu käyttäytyminen on seuraava:

- Mitä suurempi sauvan paksuus (poikkileikkaus), sitä vähemmän venyvä.

- Mitä pidempi alkuperäinen pituus, sitä suurempi lopullinen venymä on.

Tämä on järkevää, koska loppujen lopuksi kokemus osoittaa, että kuminauhan muodonmuutosyritys ei ole sama kuin yrittäminen tehdä se teräsvarrella.

Materiaalin kimmokerrokseksi kutsuttu parametri on osoitus sen elastisesta vasteesta.

Kuinka se lasketaan?

Lääkärinä ollessaan Young halusi tietää valtimoiden joustavuuden merkityksen verenkierron hyvässä suorituskyvyssä. Kokemuksistaan ​​hän päätti seuraavan empiirisen suhteen:

On mahdollista graafisesti esittää materiaalin käyttäytymistä stressin vaikutuksen alaisena, kuten seuraavassa kuvassa esitetään.

Kuva 2. Kaavio materiaalin jännityksestä verrattuna rasitukseen. Lähde: itse tehty.

Alkuperästä pisteeseen A

Ensimmäisessä osassa, joka kulkee lähtöpisteestä pisteeseen A, kuvaaja on suora. Hooken laki on voimassa siellä:

F = kx

Missä F on voiman suuruus, joka palauttaa materiaalin alkuperäiseen tilaansa, x on sen kokema muodonmuutos ja k on vakio, joka riippuu jännityksen alaisesta esineestä.

Tässä tarkastellut muodonmuutokset ovat pieniä ja käyttäytyminen on täysin joustavaa.

A: sta B: ään

A: sta B: hen myös materiaali käyttäytyy joustavasti, mutta jännityksen ja rasituksen välinen suhde ei ole enää lineaarinen.

B: stä C: ään

Pisteiden B ja C välillä materiaalissa tapahtuu pysyvä muodonmuutos, koska se ei pysty palaamaan alkuperäiseen tilaansa.

Mistä C

Jos materiaali venyy edelleen pisteestä C, se lopulta rikkoutuu.

Matemaattisesti Youngin havainnot voidaan tiivistää seuraavasti:

Stressi - kanta

Kun suhteellisuusvakio on tarkalleen materiaalin kimmokerroin:

Stressi = elastisuuden moduuli x muodonmuutos

Materiaalien muodonmuutos on monia tapoja. Kolme yleisintä stressityyppiä, jolle esine altistetaan, ovat:

- Jännitys tai venytys.

- Pakkaus.

- Leikkaa tai leikkaa.

Yksi stressi, johon materiaalit yleensä kohdistuvat, esimerkiksi siviilirakentamisessa tai autojen osissa, on pito.

kaavat

Kun pituus L-esine venytetään tai kiristetään, se altistuu pitoon, joka aiheuttaa sen pituuden vaihtelun. Kaavio tilanteesta on esitetty kuvassa 3.

Tämä vaatii, että sen päähän kohdistetaan pinta-alayksikköä kohti suuruusvoimaa F voimakkuuden aiheuttamiseksi venytystä siten, että sen uudesta pituudesta tulee L + DL.

Kohteen muodonmuutos pyrkii olemaan vain tämä voima pinta-alayksikköä kohden, kun taas koettu rasitus on ΔL / L.

Kuva 3. Veto- tai venytyskohteessa oleva esine kokee pidentymisen. Lähde: itse tehty.

Merkitsee Youngin moduulin Y: nä ja yllä olevan mukaisesti:

Vastaus on siinä, että kanta osoittaa suhteellisen kannan suhteessa alkuperäiseen pituuteen. Se ei ole sama kuin yhden metrin tanko, joka venyy tai kutistuu 1 cm: llä, koska 100 metrin pituinen rakenne vääristyy yhtä paljon 1 cm: llä.

Osien ja rakenteiden moitteettoman toiminnan kannalta sallitaan suhteelliset muodonmuutokset.

Yhtälö muodonmuutoksen laskemiseksi

Jos yllä oleva yhtälö analysoidaan seuraavasti:

- Mitä suurempi poikkileikkauspinta-ala, sitä vähemmän muodonmuutoksia.

- Mitä pidempi pituus, sitä suurempi muodonmuutos.

- Mitä korkeampi Youngin moduuli, sitä pienempi muodonmuutos.

Jännitysyksiköt vastaavat newtonia / neliömetri (N / m ²). Ne ovat myös paineyksiköitä, jotka kansainvälisessä järjestelmässä kantavat Pascal-nimeä. Kanta ΔL / L on sitä vastoin mitaton, koska se on jako kahden pituuden välillä.

Englannin järjestelmän yksiköt ovat lb / in ² ja niitä käytetään myös hyvin usein. Konversio tekijä siirtyä yhdestä toinen on: 14,7 naulaa / ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Tämä johtaa siihen, että Youngin moduulilla on myös paineyksiköitä. Lopuksi, yllä oleva yhtälö voidaan ilmaista ratkaistavaksi Y: lle:

Materiaalitieteessä näiden joustava vaste erilaisiin ponnisteluihin on tärkeä valita sopivin kullekin sovellukselle, onko kyse lentokoneen siiven vai autolaakerin valmistuksesta. Käytettävän materiaalin ominaisuudet ovat ratkaisevia sen odotettavissa olevassa vastauksessa.

Parhaimman materiaalin valitsemiseksi on välttämätöntä tuntea jännitykset, joihin tietty kappale kohdistuu; ja tämän seurauksena valitse materiaali, jolla on suunnittelun mukaisimmat ominaisuudet.

Esimerkiksi lentokoneen siipin on oltava vahva, kevyt ja taipuisa. Rakennusten rakentamisessa käytettyjen materiaalien on vastustettava suuresti seismisiä liikkeitä, mutta niillä on oltava myös jonkin verran joustavuutta.

Lentokoneiden siipien suunnittelijoiden ja myös rakennusmateriaaleja valitsevien insinöörien on käytettävä kuvassa 2 esitetyn kaltaisia ​​rasitusjännityskaavioita.

Mittaukset materiaalin asiaankuuluvien elastisten ominaisuuksien määrittämiseksi voidaan suorittaa erikoistuneissa laboratorioissa. Siksi on olemassa standardisoituja testejä, joille näytteet altistetaan, joille kohdistetaan erilaisia ​​jännityksiä, mittaamalla myöhemmin syntyvät muodonmuutokset.

esimerkit

Kuten jo edellä mainittiin, Y ei riipu esineen koosta tai muodosta, vaan materiaalin ominaisuuksista.

Toinen erittäin tärkeä huomautus: Jotta yllä annettua yhtälöä voitaisiin soveltaa, materiaalin on oltava isotrooppista, ts. Sen ominaisuuksien on pysyttävä muuttumattomina koko ajan.

Kaikki materiaalit eivät ole isotrooppisia: on niitä, joiden elastinen vaste riippuu tietyistä suuntaparametreista.

Edellisissä segmenteissä analysoitu muodonmuutos on vain yksi niistä monista, joille materiaali voi altistua. Esimerkiksi puristusjännityksen suhteen se on vastakohta vetolujuudelle.

Annetut yhtälöt koskevat molempia tapauksia, ja Y-arvot ovat melkein aina samat (isotrooppiset materiaalit).

Huomattava poikkeus on betoni tai sementti, joka kestää puristamista paremmin kuin pitoa. Siksi sitä on vahvistettava, kun venytysvastus vaaditaan. Teräs on tähän tarkoitettu materiaali, koska se kestää venymistä tai pitoa erittäin hyvin.

Esimerkkejä rakenteista, joihin kohdistuu stressiä, ovat rakennuspylväät ja kaaret, klassiset rakennuselementit monissa muinaisissa ja nykyaikaisissa sivilisaatioissa.

Kuva 4. Pont Julien, roomalainen rakennus 3 eKr Etelä-Ranskassa.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Soittimen 2,0 metrin pituisen teräslangan säde on 0,03 mm. Kun kaapelin jännitys on 90 N: kuinka paljon sen pituus muuttuu? Tiedot: Youngin teräskerroin on 200 x ¹⁰⁹ N / m ²

Ratkaisu

Vaaditaan laskemaan poikkileikkauspinta-ala A = πR ² = π. (0,03 x 10 ^-3 m) ² = 2,83 x 10 - ⁹ m ²

Stressi on stressiä pinta-alayksikköä kohden:

Koska merkkijono on jännitteessä, se tarkoittaa, että se jatkuu.

Uusi pituus on L = L _o + DL, missä L _o on alkuperäinen pituus:

L = 2,32 m

Harjoitus 2

Marmoripylväs, jonka poikkileikkauspinta-ala on 2,0 m ^2, tukee massaa 25 000 kg. Löytö:

a) Selkärangan työ.

b) Kanta.

c) Kuinka paljon lyhyempi pylväs on, jos sen korkeus on 12 m?

Ratkaisu

a) Pylväässä oleva työ johtuu 25000 kg: n painosta:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245000 N

Siksi työ on:

b) Kanta on ΔL / L:

c) ΔL on pituuden variaatio, joka saadaan:

AL = 2,45 x 10 - ⁶ x 12 m = 2,94 x 10 - ⁵ m = 0,0294 mm.

Marmoripylvään ei odoteta kutistuvan merkittävästi. Huomaa, että vaikka Youngin moduuli on pienempi marmorissa kuin teräksessä ja että pylväs tukee myös paljon suurempaa voimaa, sen pituus melkein ei vaihtele.

Toisaalta edellisen esimerkin köydessä variaatio on paljon tuntuvampi, vaikka teräksellä on paljon korkeampi Youngin moduuli.

Sen suuri poikkileikkauspinta-ala on pylväässä, ja siksi se on paljon vähemmän muotoaan muuttava.

Tietoa henkilöstä Thomas Young

1822 Thomas Youngin muotokuva. Thomas Lawrence / Julkinen verkkotunnus

Joustavuuskerroin on nimetty Thomas Youngin (1773-1829) mukaan, joka on monipuolinen brittiläinen tutkija, joka antoi suuren panoksen tieteeseen monilla aloilla.

Fyysikkona Young ei vain tutkinut valon aallon luonnetta, joka paljastettiin kuuluisassa kaksoisviilokokeessa, vaan hän oli myös lääkäri, kielitieteellinen lääkäri ja auttoi jopa salaamaan joitakin egyptiläisiä hierogliffeja kuuluisalla Rosetta-kivellä.

Hän oli kuninkaallisen yhdistyksen, Ruotsin kuninkaallisen tiedeakatemian, Amerikan taiteiden ja tieteiden akatemian tai Ranskan tiedeakatemian jäsen muiden aatelisten tiedelaitosten joukossa.

On kuitenkin huomattava, että mallin konseptin on aikaisemmin kehittänyt Leonhar Euler (1707-1873) ja että tutkijat, kuten Giordano Riccati (1709-1790), olivat jo suorittaneet kokeilun, joka olisi saattanut Youngin mallin käytännössä..

Viitteet

1. Bauer, W. 2011. Fysiikka tekniikan ja tieteiden aloille. Nide 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Fysiikka: Periaatteet ja sovellukset. Kuudes painos. Prentice Hall. 238-249.