- Alustojen ominaisuudet
- Esimerkkejä emäksistä
- Kaanoninen perusta ℜ: ssä
- Kaanoninen perusta ℜ: ssä
- Muut ortonaaliset emäkset in
- Ratkaistuja harjoituksia
- - Harjoitus 1
- Ratkaisu
- - Harjoitus 2
- Ratkaisu
- Viitteet
Ortonormaaleina on muodostettu vektoreilla kohtisuorassa toisiinsa nähden, ja jonka moduuli on myös 1 (yksikkövektoreita). Muistakaamme, että kanta B vektoriavaruudessa V on määritelty joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, jotka kykenevät tuottamaan mainitun tilan.
Vektoriavaruus puolestaan on abstrakti matemaattinen kokonaisuus, jonka elementtien joukossa on vektoreita, jotka yleensä yhdistetään fyysisiin suuruuksiin, kuten nopeus, voima ja siirtymä tai myös matriiseihin, polynomiin ja funktioihin.
Kuva 1. Ortonormaalinen perusta tasossa. Lähde: Wikimedia Commons. Quartl.
Vektoreilla on kolme erottuvaa elementtiä: suuruus tai moduuli, suunta ja aisti. Ortonaalinen perusta on erityisen hyödyllinen edustamaan ja toimimaan niiden kanssa, koska mikä tahansa vektori, joka kuuluu tiettyyn vektoritilaan V, voidaan kirjoittaa lineaarisena yhdistelmänä vektoreista, jotka muodostavat ortonaalisen perustan.
Tällä tavalla suoritetaan analyyttisesti vektoreiden väliset operaatiot, kuten summaus, vähennys ja mainitussa tilassa määritetyt erityyppiset tuotteet.
Fysiikassa yleisimmin käytettyihin emäksiin kuuluu yksikkövektorien i, j ja k muodostama emäs, jotka edustavat kolmiulotteisen tilan kolmea erottuvaa suuntaa: korkeus, leveys ja syvyys. Nämä vektorit tunnetaan myös yksikkökanoonisina vektoreina.
Jos sen sijaan vektoreita työskennellään tasossa, riittää kaksi näistä kolmesta komponentista, kun taas yksiulotteisille vektoreille vaaditaan vain yksi.
Alustojen ominaisuudet
1- Emäs B on pienin mahdollinen joukko vektoreita, jotka muodostavat vektoritilan V.
2- B: n elementit ovat lineaarisesti riippumattomia.
3 - Mikä tahansa vektoritilan V emäs B sallii ilmaista kaikki V: n vektorit sen lineaarisena yhdistelmänä ja tämä muoto on ainutlaatuinen jokaiselle vektorille. Tästä syystä B tunnetaan myös generaattorijärjestelmänä.
4- Samalla vektoritilalla V voi olla erilaisia emäksiä.
Esimerkkejä emäksistä
Tässä on useita esimerkkejä ortonormaalisista emäksistä ja emäksistä yleensä:
Kaanoninen perusta ℜ: ssä
Kutsutaan myös luonnolliseksi emäkseksi tai standard n: n vakiopohjaksi, missä ℜ n on n-ulotteinen avaruus, esimerkiksi kolmiulotteinen tila on ℜ 3. N-arvoa kutsutaan vektoriavaruuden ulottuvuudeksi ja merkitään himmeäksi (V).
Kaikkia vektoriin, jotka kuuluvat ℜ n: ään, esitetään tilatut n-mainokset. Tilalle ℜ n kaanoninen perusta on:
e 1 = <1,0,…, 0>; e 2 = <0,1,…, 0>; …….. e n = <0,0,…, 1>
Tässä esimerkissä olemme käyttäneet merkintää hakasuluissa tai ”hakasulkeissa” ja lihavoituna yksikkövektoreille e 1, e 2, e 3…
Kaanoninen perusta ℜ: ssä
Tunnetut vektorit i, j ja k myöntävät saman esityksen ja kaikki kolme ovat riittäviä edustamaan tors 3: n vektoreita:
i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>
Se tarkoittaa, että emäs voidaan ilmaista tällä:
B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}
Varmistaakseen, että ne ovat lineaarisesti riippumattomia, heidän kanssaan muodostettu determinantti ei ole nolla ja on myös yhtä suuri kuin 1:
F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.
Siksi i, j ja k muodostavat generaattorijärjestelmän ℜ 3.
Muut ortonaaliset emäkset in
Edellisessä osassa kuvattu standardi emäs ei ole ainoa ortonormaalinen emäs kohdassa 3. Täällä meillä on esimerkiksi emäkset:
B 1 = {
B 2 = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0; <0,0,1>}
Voidaan osoittaa, että nämä emäkset ovat ortonormaalisia, sillä muistamme ehdot, jotka on täytettävä:
-Erekannan muodostavien vektorien on oltava kohtisuorassa toistensa kanssa.
- Jokaisen heistä on oltava yhtenäinen.
Voimme varmistaa tämän tietämällä, että niiden muodostaman determinantin on oltava nollasta poikkeava ja yhtä suuri kuin 1.
Emäs B 1 on juuri siinä, että sylinterimäinen koordinaatit P, φ ja z, toinen tapa ilmaista vektorien avaruudessa.
Kuva 2. Sylinterimäiset koordinaatit. Lähde: Wikimedia Commons. Matematiikan harrastaja.
Ratkaistuja harjoituksia
- Harjoitus 1
Osoita, että emäs B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0; <0,0,1>} on ortonormaalinen.
Ratkaisu
Osoittaaksemme, että vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa, käytämme skalaarituotetta, jota kutsutaan myös kahden vektorin sisäiseksi tai pistetuoteksi.
Olkoon mikä tahansa kaksi vektoria u ja v, niiden pistetuote määritetään:
u • v = uv cosθ
Moduulien vektorien erottamiseksi käytämme lihavoitua ensimmäiseen ja normaalia kirjainta toiseen. θ on u: n ja kulman välinen kulma , joten jos ne ovat kohtisuorassa, se tarkoittaa, että θ = 90º ja skalaarituote on nolla.
Vaihtoehtoisesti, jos vektorit on annettu niiden komponenteina: u =
u • v = u x.v x + u y. v y + u z.v z
Tällä tavoin kunkin vektoriparin väliset skalaarituotteet ovat vastaavasti:
i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0
ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0
iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0
Toista ehtoa varten lasketaan kunkin vektorin moduuli, joka saadaan:
│u │ = √ (u x 2 + u y 2 + u z 2)
Siten kunkin vektorin moduulit ovat:
│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <0, 0,1> │ = √ = 1
Siksi kaikki kolme ovat yksikkövektoreita. Lopuksi niiden muodostama determinantti ei ole nolla ja yhtä suuri kuin 1:
- Harjoitus 2
Kirjoita vektorin koordinaatit w = <2, 3,1> yllä olevan emäksen suhteen.
Ratkaisu
Tätä varten käytetään seuraavaa lausetta:
w = < w • v 1 > v 1 + < w • v 2 > v 2 + < w • v 3 > v 3 +… < w • v n > v n
Tämä tarkoittaa, että voimme kirjoittaa vektorin emäkseen B käyttämällä kertoimia < w • v 1 >, < w • v 2 >,… < w • v n >, joille meidän on laskettava ilmoitetut skalaarituotteet:
<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12) / 5) = 18/5
<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5
<2, 3,1> • <0,0,1> = 1
Saatujen skalaarituotteiden avulla rakennetaan matriisi, jota kutsutaan w-koordinaattimatriisiksi.
Siksi vektorin w koordinaatit kannassa B ilmaistaan:
B =
Koordinaattimatriisi ei ole vektori, koska vektori ei ole sama kuin sen koordinaatit. Nämä ovat vain joukko numeroita, jotka palvelevat vektorin ilmentämistä tietyssä emäksessä, eivät itse vektoria. Ne riippuvat myös valitusta tukikohdasta.
Lopuksi, lauseen jälkeen, vektori w ilmaistaan seuraavasti:
w = (18/5) v 1 + (1/5) v 2 + v 3
Jossa: v 1 = <3/5, 4 / 5,0>; v 2 = <- 4/5, 3 / 5,0>; v 3 = <0,0,1>}, ts. emäksen B vektorit
Viitteet
- Larson, R. Lineaarisen algebran perusteet. 6th. Painos. Cengagen oppiminen.
- Larson, R. 2006. Calculus. 7th. Painos. Osa 2 - McGraw Hill.
- Salas, J. Lineaarinen algebra. Yksikkö 10. Ortonaaliset emäkset. Palautettu: ocw.uc3m.es.
- Sevillan yliopisto. Sylinterimäiset koordinaatit. Vektori pohja. Palautettu osoitteesta: laplace.us.es.
- Wikipedia. Ortonaalinen perusta. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.