ANALYYTTINEN GEOMETRIA: MITÄ SE TUTKII, HISTORIA, SOVELLUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Analyyttisen geometrian tutkimukset linjat ja geometrisia muotoja käyttämällä perus algebran tekniikoita ja matemaattinen analyysi tietyssä koordinaatistossa.

Siksi analyyttinen geometria on matematiikan haara, joka analysoi yksityiskohtaisesti kaikkia geometristen lukujen tietoja, ts. Tilavuutta, kulmia, pinta-alaa, leikkauspisteitä, niiden etäisyyksiä muun muassa.

Analyyttisen geometrian perusominaisuus on, että se mahdollistaa geometristen lukujen esittämisen kaavojen avulla.

Esimerkiksi kehät esitetään toisen asteen polynomiyhtälöinä, kun taas viivat ilmaistaan ​​ensimmäisen asteen polynomiyhtälöinä.

Analyyttinen geometria syntyy 1700-luvulla johtuen tarpeesta antaa vastauksia ongelmiin, joihin tähän mennessä ei ollut ratkaisua. Sen tärkeimmät edustajat olivat René Descartes ja Pierre de Fermat.

Nykyään monet kirjoittajat viittaavat siihen mullistavaan luomiseen matematiikan historiassa, koska se edustaa nykyaikaisen matematiikan alkua.

Analyyttisen geometrian historia

Termi "analyyttinen geometria" syntyi Ranskassa 1700-luvulla johtuen tarpeesta tarjota vastauksia ongelmiin, joita ei voitu ratkaista käyttämällä algebraa ja geometriaa erikseen, mutta ratkaisu oli molempien yhdessä.

Analyyttisen geometrian tärkeimmät edustajat

Seitsemännentoista vuosisadan aikana kaksi ranskalaista sattumalta elämässä suoritti tutkimusta, joka päättyi tavalla tai toisella analyyttisen geometrian luomiseen. Nämä ihmiset olivat Pierre de Fermat ja René Descartes.

Tällä hetkellä katsotaan, että analyyttisen geometrian luoja oli René Descartes. Tämä johtuu siitä, että hän julkaisi kirjansa ennen Fermat'sä ja myös perusteellisesti Descartesin kanssa aiheesta analyyttinen geometria.

Sekä Fermat että Descartes havaitsivat, että viivat ja geometriset luvut voidaan ilmaista yhtälöinä ja yhtälöt voidaan ilmaista viivoina tai geometrisina lukuina.

Näiden kahden havaintojen mukaan voidaan sanoa, että molemmat ovat analyyttisen geometrian luojat.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat oli ranskalainen matemaatikko, joka syntyi vuonna 1601 ja kuoli vuonna 1665. Elämänsä aikana hän opiskeli Euclidin, Apolloniuksen ja Pappuksen geometriaa ratkaistakseen tuolloin olemassa olleet mittausongelmat.

Myöhemmin nämä tutkimukset käynnistivät geometrian luomisen. Ne lopulta ilmaistaan ​​hänen kirjassaan "Johdatus tasaisiin ja kiinteisiin paikkoihin" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), joka julkaistiin 14 vuotta hänen kuolemansa jälkeen vuonna 1679.

Pierre de Fermat sovelsi analyyttistä geometriaa Apolloniuksen lauseisiin geometrisissä paikoissa vuonna 1623. Hän oli myös ensimmäinen, joka sovelsi analyyttistä geometriaa kolmiulotteiseen avaruuteen.

Rene Descartes

Tunnetaan myös nimellä Cartesius, hän oli matemaatikko, fyysikko ja filosofi, joka syntyi 31. maaliskuuta 1596 Ranskassa ja kuoli vuonna 1650.

René Descartes julkaisi vuonna 1637 kirjansa "Diskurssi tavasta johtaa järkeä oikein ja etsiä totuutta tieteestä", tunnetaan paremmin nimellä "Menetelmä", ja sieltä termi "analyyttinen geometria" esiteltiin maailmalle. Yksi sen liitteistä oli "Geometria".

Analyyttisen geometrian perusteet

Analyyttinen geometria koostuu seuraavista elementeistä:

Kartesialainen koordinaattijärjestelmä

Tämä järjestelmä on nimetty René Descartesin mukaan.

Se ei ollut se, joka nimitti sitä, eikä se, joka valmisti Cartesian-koordinaattijärjestelmän, mutta hän puhui koordinaateista, joiden positiiviset luvut mahdollistivat tulevien tutkijoiden suorittaa sen.

Tämä järjestelmä koostuu suorakulmaisesta koordinaattijärjestelmästä ja napakoordinaattijärjestelmästä.

Suorakulmaiset koordinaattijärjestelmät

Suorakulmaisia ​​koordinaattijärjestelmiä kutsutaan tasoksi, jonka muodostavat kaksi toisiinsa nähden kohtisuoraa numeroviivaa, jolloin rajauspiste on yhteinen nollan kanssa.

Silloin tämä järjestelmä muodostuisi vaakasuorasta ja pystysuorasta.

Vaakasuora viiva on X-akseli tai abskissa-akseli. Pystysuora viiva olisi Y-akseli tai ordinaattiakseli.

Polaarinen koordinaattijärjestelmä

Tämän järjestelmän tehtävänä on tarkistaa pisteen suhteellinen sijainti suhteessa kiinteään linjaan ja kiinteään pisteeseen linjalla.

Linjan suorakulmainen yhtälö

Tämä yhtälö saadaan linjasta, kun tunnetaan kaksi pistettä, joiden läpi se kulkee.

Suora viiva

Se ei poikkea ja siksi siinä ei ole käyriä tai kulmia.

kartioleikkauksille

Ne ovat käyrät, jotka määrittelevät kiinteän pisteen läpi kulkevat linjat ja käyrän kohdat.

Ellipsi, kehä, parabooli ja hyperbooli ovat kartiomaisia ​​käyriä. Jokainen niistä on kuvattu alla.

Ympärysmitta

Ympyräksi kutsutaan suljettua tasokäyrää, jonka muodostavat kaikki tason kohdat, jotka ovat yhtä kaukana sisäpisteestä, toisin sanoen kehän keskipisteestä.

vertaus

Se on tasossa olevien pisteiden sijainti, jotka ovat yhtä kaukana kiinteistä pisteistä (tarkennus) ja kiinteistä viivoista (suuntaviiva). Joten suunta ja keskittyminen ovat sitä, mikä määrittelee parabolan.

Parabooli voidaan saada osana pyöreää kartiomaista pintaa yleisen matriisin kanssa yhdensuuntaisen tason läpi.

Ellipsi

Suljettua käyrää, joka kuvaa pistettä tasossa liikkuessa, kutsutaan ellipsiksi siten, että sen etäisyyksien summa kahteen (2) kiinteään pisteeseen (nimeltään polttoaineisiin) on vakio.

Hyperbeli

Hyperbooliksi kutsutaan käyrää, joka määritetään tason pisteiden sijaintina, jolle kahden kiinteän pisteen (polttovälin) etäisyys on vakio.

Hyperboolilla on symmetria-akseli, joka kulkee polttimien läpi, nimeltään polttoakseliksi. Sillä on myös toinen, joka on segmentin puolittaja, jonka päissä on kiinteät kohdat.

Sovellukset

Analyyttistä geometriaa on monia sovelluksia jokapäiväisessä elämässä. Esimerkiksi, parabooli, yksi analyyttisen geometrian perustekijöistä, löytyy monista työkaluista, joita käytetään päivittäin. Jotkut näistä työkaluista ovat seuraavat:

Satelliittiantenni

Paraboliantenneissa on heijastin, joka syntyy parabolin seurauksena, joka pyörii mainitun antennin akselilla. Tämän toiminnan seurauksena muodostuvaa pintaa kutsutaan paraboloidiksi.

Tätä paraboloidin kykyä kutsutaan parabolin optiseksi ominaisuudeksi tai heijastusominaisuudeksi, ja tämän ansiosta paraboloidi voi heijastaa sähkömagneettisia aaltoja, jotka se vastaanottaa antennin muodostavasta syöttömekanismista.

Riippuvat sillat

Kun köysi tukee painoa, joka on homogeeninen, mutta samalla huomattavasti suurempi kuin itse köyden paino, seurauksena on parabooli.

Tämä periaate on keskeinen ripustussiltojen rakentamisessa, joita yleensä tukevat laajat teräskaapelirakenteet.

Vertauksen periaatetta ripustussilloissa on käytetty rakenteissa, kuten Golden Gate -silta, joka sijaitsee San Franciscon kaupungissa Yhdysvalloissa, tai Akashi-salmen Suuri silta, joka sijaitsee Japanissa ja yhdistää Awaji kanssa Honshū, maan pääsaari.

Tähtitieteellinen analyysi

Analyyttisellä geometrialla on myös ollut täsmällisiä ja ratkaisevia käyttötarkoituksia tähtitieteen alalla. Tässä tapauksessa analyyttisen geometrian elementti, joka vie keskipisteen, on ellipsi; Johannes Keplerin planeettojen liikelaki heijastaa tätä.

Kepler, saksalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä, päätti, että ellipsi oli käyrä, joka sopii parhaiten Marsin liikkeelle; Hän oli aiemmin testannut Copernicuksen ehdottamaa pyöreää mallia, mutta kokeidensa keskellä hän päätteli, että ellipsi piirtää kiertoradan, joka oli täysin samanlainen kuin tutkittavan planeetan.

Ellipsin ansiosta Kepler pystyi vakuuttamaan, että planeetat liikkuivat ellipsiisillä kiertoradalla; tämä huomio oli Keplerin ns. toisen lain lausunto.

Tästä löytöstä, jota myöhemmin rikastutti englantilainen fyysikko ja matemaatikko Isaac Newton, oli mahdollista tutkia planeettojen kiertoradan liikkeitä ja lisätä tietoa, joka oli olemassa siitä universumista, johon olemme osa.

Cassegrainin kaukoputki

Cassegrainin kaukoputki on nimetty keksijänsä, ranskalaisen syntyneen fyysikon Laurent Cassegrainin mukaan. Tässä kaukoputkessa käytetään analyyttisen geometrian periaatteita, koska se koostuu pääasiassa kahdesta peilistä: ensimmäinen on kovera ja parabolinen, ja toiselle on ominaista kupera ja hyperbolinen.

Näiden peilien sijainti ja luonne mahdollistavat sen, että pallopoikkeamana tunnettua vikaa ei tapahdu; Tämä vika estää valonsäteiden heijastamisen tietyn linssin tarkennuksessa.

Cassegrain-kaukoputki on erittäin hyödyllinen planeettahavainnoissa, ja se on myös varsin monipuolinen ja helppo käyttää.

Viitteet

1. Analyyttinen geometria. Haettu 20. lokakuuta 2017, osoitteesta britannica.com
2. Analyyttinen geometria. Haettu 20. lokakuuta 2017, encyclopediafmath.org
3. Analyyttinen geometria. Haettu 20. lokakuuta 2017, khancademy.org
4. Analyyttinen geometria. Haettu 20. lokakuuta 2017, wikipedia.org
5. Analyyttinen geometria. Haettu 20. lokakuuta 2017, osoitteesta whitman.edu
6. Analyyttinen geometria. Haettu 20. lokakuuta 2017 osoitteesta stewartcalculus.com
7. Koneanalyyttinen geometria Haettu 20. lokakuuta 2017