- Pienimpien neliöiden menetelmä
- Ratkaistuja harjoituksia
- Harjoitus 1
- Ratkaisu
- Harjoitus 2
- Mitä varten se on?
- Viitteet
Pienimmän neliösumman menetelmä on yksi tärkeimmistä sovelluksista funktion lähentämisessä. Ajatuksena on löytää käyrä sellaiseksi, että kun kyse on joukosta tilattuja pareja, tämä toiminto lähentää tietoja parhaiten. Toiminto voi olla suora, neliömäinen käyrä, kuutio jne.
Menetelmän ideana on minimoida ordinaatin (Y-komponentti) erojen neliöiden summa valitun funktion muodostamien pisteiden ja tietojoukkoon kuuluvien pisteiden välillä.
Pienimpien neliöiden menetelmä
Ennen menetelmän antamista on ensin selvitettävä, mitä ”parempi lähestymistapa” tarkoittaa. Oletetaan, että etsimme linjaa y = b + mx, joka edustaa parhaiten joukkoa n pistettä, nimittäin {(x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)}.
Kuten edellisessä kuvassa on esitetty, jos muuttujat x ja y liittyvät linjaan y = b + mx, x = x1: lle vastaava y: n arvo olisi b + mx1. Tämä arvo eroaa kuitenkin y: n todellisesta arvosta, joka on y = y1.
Muista, että tasossa kahden pisteen välinen etäisyys saadaan seuraavalla kaavalla:
Tätä silmällä pitäen, jotta voidaan määrittää tapa valita linja y = b + mx, joka parhaiten vastaa annettua tietoa, vaikuttaa loogiselta käyttää kriteerinä linjan valintaa, joka minimoi pisteiden välisen etäisyyden neliöiden summan ja suora.
Koska pisteiden (x1, y1) ja (x1, b + mx1) välinen etäisyys on y1- (b + mx1), ongelmamme vähenee numeroiden m ja b löytämiseen siten, että seuraava summa on minimaalinen:
Viiva, joka täyttää tämän ehdon, tunnetaan nimellä "pienimmän neliösumman viivan likimääräisyys pisteisiin (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)".
Kun ongelma on saatu, jää vain valita menetelmä, jolla saadaan pienimmän neliösumman likiarvo. Jos pisteet (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) ovat kaikki linjalla y = mx + b, meillä olisi niin, että ne ovat kolinaarisia y:
Tässä ilmaisussa:
Lopuksi, jos pisteet eivät ole kollineaarisia, niin y-Au = 0 ja ongelma voidaan muuntaa etsimällä vektori u sellaiseksi, että Euklidinen normi on minimaalinen.
Minimoivan vektorin u löytäminen ei ole niin vaikeaa kuin luuletkaan. Koska A on NX2 matriisi ja u on 2 x 1 matriisi, meillä on, että vektori Au on vektori R n ja alue kuvan A, joka on aliavaruus R n, joiden koko ei ole suurempi kuin kaksi.
Oletetaan, että n = 3 osoittaaksesi mitä menettelyä noudatetaan. Jos n = 3, A: n kuva on taso tai viiva lähtökohdan läpi.
Olkoon v minimoiva vektori. Kuvassa huomaamme, että y-Au minimoidaan, kun se on kohtisuorassa kuvan A kanssa. Toisin sanoen jos v on minimoiva vektori, niin tapahtuu, että:
Sitten voimme ilmaista yllä olevan tällä tavalla:
Tämä voi tapahtua vain, jos:
Lopuksi ratkaisemalla v, meillä on:
On mahdollista tehdä tämä, koska t A on käännettävissä kunhan n pistettä annettu tietoa ei samalla suoralla.
Nyt, jos sen sijaan, että etsisimme linjaa, halusimme löytää parabolin (jonka lauseke olisi muodossa y = a + bx + cx 2), joka olisi parempi lähestymistapa n tietopisteeseen, menettelytapa olisi alla kuvattu.
Jos n datapistettä olisi tässä parabolassa, meillä olisi:
Sitten:
Samoin voimme kirjoittaa y = Au. Jos kaikki pisteet eivät ole parabolissa, meillä on, että y-Au eroaa nollasta millä tahansa vektorilla u ja ongelmamme on jälleen: etsi vektori u R3: sta siten, että sen normi - y-Au-- on mahdollisimman pieni.
Toistamalla edellinen menettely, voimme päätellä, että etsittävä vektori on:
Ratkaistuja harjoituksia
Harjoitus 1
Etsi rivi, joka sopii parhaiten pisteisiin (1,4), (-2,5), (3, -1) ja (4,1).
Ratkaisu
Meidän täytyy:
Sitten:
Siksi päättelemme, että pisteille parhaiten sopiva rivi annetaan:
Harjoitus 2
Oletetaan, että esine pudotetaan 200 metrin korkeudesta. Laskiessaan seuraavat vaiheet toteutetaan:
Tiedämme, että mainitun esineen korkeuden, kun aika t on kulunut, antaa:
Jos haluamme saada arvon g, löydämme parabolin, joka on parempi lähentäminen taulukon viiteen pisteeseen, ja siten meillä olisi t 2: n mukana oleva kerroin kohtuullinen lähentäminen (-1 / 2) g: lle, jos mittaukset ovat tarkkoja.
Meidän täytyy:
Ja myöhemmin:
Joten datapisteet sopivat seuraavaan kvadraattiseen lausekkeeseen:
Joten sinun on:
Tämä on kohtuullisen lähellä oikeaa arvoa, joka on g = 9,81 m / s 2. Jotta g: n tarkempi likiarvo saadaan, olisi tarpeen aloittaa tarkemmista havainnoista.
Mitä varten se on?
Luonnontieteissä tai yhteiskuntatieteissä esiintyvissä ongelmissa on kätevää kirjoittaa eri muuttujien väliset suhteet jollain matemaattisella lausekkeella.
Esimerkiksi taloustieteessä voimme verrata kustannuksia (C), tuloja (I) ja voittoja (U) yksinkertaisella kaavalla:
Fysiikassa voimme verrata painovoiman aiheuttamaa kiihtyvyyttä, ajan, jolloin esine on pudonnut, ja kohteen korkeutta lain mukaan:
Edellisessä lausekkeessa s o on mainitun esineen alkuperäinen korkeus ja v o on sen alkuperäinen nopeus.
Tällaisten kaavojen löytäminen ei kuitenkaan ole helppoa; yleensä vastuuhenkilön tehtävä on työskennellä paljon dataa ja suorittaa toistuvasti useita kokeita (varmistaakseen, että saadut tulokset ovat vakioita) löytää yhteydet eri tietojen välillä.
Yleinen tapa saavuttaa tämä on edustaa tasolta saatua dataa pisteinä ja etsiä jatkuva toiminto, joka lähentää näitä pisteitä optimaalisesti.
Yksi tapa löytää toiminto, joka "parhaiten arvioi" annettua tietoa, on pienimmän neliösumman menetelmä.
Lisäksi, kuten näimme myös harjoituksessa, tämän menetelmän avulla voimme saada melko läheiset likiarvot fyysisiin vakioihin.
Viitteet
- Charles W Curtisin lineaarialgebra. Springer-Velarg
- Kai Lai Chung. Alkuperäisen todennäköisyyden teoria stokastisilla prosesseilla. Springer-Verlag New York Inc.
- Richar L Burden ja J.Douglas Faires. Numeerinen analyysi (7ed). Thompson Learning.
- Stanley I. Grossman. Lineaarisen algebran sovellukset. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman. Lineaarialgebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO