KÄÄNTEINEN MATRIISI: LASKENTA JA RATKAISTU TEHTÄVÄ - MATEMATIIKKA - 2025

Käänteismatriisi Tietyn matriisi on matriisi, joka kerrottuna alkuperäinen antaa identiteettimatriisi. Käänteinen matriisi on hyödyllinen ratkaistaessa lineaaristen yhtälöiden järjestelmiä, joten on tärkeää tietää, kuinka se lasketaan.

Matriisit ovat erittäin hyödyllisiä fysiikassa, tekniikassa ja matematiikassa, koska ne ovat kompakti työkalu monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi. Matriisien käyttökelpoisuus paranee, kun ne ovat käännettävissä ja niiden käänteinen tunnetaan myös.

Kuva 1. Yleinen 2 × 2 -matriisi ja sen käänteinen matriisi on esitetty. (Valmistaja Ricardo Pérez)

Graafisen prosessoinnin, Big Data, Data Mining, Machine Learning ja muiden aloilla käytetään tehokkaita ja nopeita algoritmeja arvioimaan nxn-matriisien käänteinen matriisi, jolla on erittäin suuri n, luokkaa tuhansia tai miljoonia.

Havainnollistaaksemme käänteisen matriisin käyttöä lineaaristen yhtälöiden järjestelmän käsittelyssä, aloitamme kaikkien yksinkertaisimmasta tapauksesta: 1 × 1 matriisit.

Yksinkertaisin tapaus: yksittäisen muuttujan lineaarinen yhtälö otetaan huomioon: 2 x = 10.

Ajatuksena on löytää x: n arvo, mutta se tehdään "matriisina".

Matriisi M = (2), joka kertoo vektorin (x), on 1 × 1 matriisi, joka johtaa vektoriin (10):

M (x) = (10)

Matriisin M käänteistä merkitään M ^-1.

Yleinen tapa kirjoittaa tämä "lineaarinen järjestelmä" on:

MX = B, jossa X on vektori (x) ja B on vektori (10).

Määritelmän mukaan käänteinen matriisi on se, joka kerrottuna alkuperäisellä matriisilla johtaa identiteettimatriisiin I:

M ^-1 M = I

Tarkasteltavana olevassa tapauksessa matriisi M ^-1 on matriisi (½), ts. M ^-1 = (½), koska M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Tuntemattoman vektorin X = (x) löytämiseksi ehdotetussa yhtälössä molemmat jäsenet kerrotaan käänteismatriisilla:

M- ¹ M (x) = M- ¹ (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Kahden vektorin yhtäläisyys on saavutettu, jotka ovat yhtä suuret vain, kun vastaavat elementit ovat yhtä suuret, ts. X = 5.

Matriisin käänteisen laskeminen

Käänteisen matriisin laskentaa motivoivaa on löytää universaali menetelmä lineaaristen järjestelmien, kuten seuraavan 2 × 2 -järjestelmän, ratkaisulle:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Seuraamme edellisessä osassa tutkitun 1 × 1 -tapauksen vaiheita, kirjoitamme yhtälöjärjestelmän matriisimuodossa:

Kuva 2. Lineaarinen järjestelmä matriisimuodossa.

Huomaa, että tämä järjestelmä on kirjoitettu pienikokoisena vektorimerkinnällä seuraavasti:

MX = B

missä

Seuraava askel on löytää käänteinen M.

Menetelmä 1: Gaussin eliminaation käyttö

Sovelletaan Gaussin eliminointimenetelmää. Joka koostuu perusoperaatioiden tekemisestä matriisin riveillä, nämä toiminnot ovat:

- Kerrotaan rivi nollakerralla.

- Lisää tai vähennä toinen rivi rivistä tai toisen rivin monikerta.

- Vaihda rivit.

Tavoitteena on näiden toimintojen avulla muuntaa alkuperäinen matriisi identiteettimatriisiksi.

Kun tämä tehdään, matriisissa M tehdään täsmälleen samat toiminnot identiteettimatriisiin. Kun useiden rivitoimintojen jälkeen M muuttuu yksikkömatriisiksi, alun perin yksiköstä tulee M: n käänteinen matriisi, toisin sanoen M ^-1.

1- Aloitamme prosessin kirjoittamalla matriisin M ja sen viereen yksikkömatriisin:

2 - Lisäämme kaksi riviä ja lisäämme tuloksen toiselle riville, tällä tavoin saadaan nolla toisen rivin ensimmäiseen elementtiin:

3- Kertomme toisen rivin -1: llä saadaksesi 0 ja 1 toisella rivillä:

4- Ensimmäinen rivi kerrotaan ½:

5- Toinen ja ensimmäinen lisätään ja tulos sijoitetaan ensimmäiselle riville:

6- Nyt prosessin loppuun saattamiseksi ensimmäinen rivi kerrotaan kahdella identiteettimatriisin saamiseksi ensimmäisestä rivistä ja alkuperäisen matriisin M käänteismatriisin toisesta:

Tarkoittaen:

Järjestelmäratkaisu

Kun käänteinen matriisi on saatu, yhtälöjärjestelmä ratkaistaan ​​soveltamalla käänteistä matriisia kompaktivektoriyhtälön molemmille jäsenille:

M- ¹ M X = M- ¹ B

X = M- ¹ B

Mikä näyttää täsmälleen tältä:

Sitten suoritetaan matriisin kertolasku vektorin X saamiseksi:

Menetelmä 2: liitteenä olevan matriisin käyttäminen

Tässä toisessa menetelmässä käänteinen matriisi lasketaan alkuperäisen matriisin A vierematriisista.

Oletetaan, että matriisi A on antanut:

missä _{i, j} on matriisin A rivin i ja sarakkeen j elementti.

Matriisin A vierettä kutsutaan Adj (A) ja sen elementit ovat:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

missä Ai, j on komplementaarinen alempi matriisi, joka saadaan poistamalla alkuperäisen matriisin A rivi i ja sarake j. Pylväät ¦ ¦ osoittavat, että determinantti on laskettu, ts . ¦Ai, j¦ on pienemmän komplementaarimatriisin determinantti.

Käänteinen matriisikaava

Kaava käänteisen matriisin löytämiseksi alkuperäisen matriisin vierekkäisestä matriisista lähtien on seuraava:

On käänteinen matriisi, ^-1, on transpoosi adjungoitu on jaettuna determinantin.

Transpoosin ^T matriisin saadaan vaihtamalla rivit sarakkeita, että on ensimmäinen rivi tulee ensimmäisen sarakkeen ja toinen rivi tulee toisen sarakkeen ja niin edelleen, kunnes n riviä alkuperäisen matriisin loppuun.

Harjoitus ratkaistu

Olkoon matriisi A seuraava:

Jokainen elementti A: n vierematriisista lasketaan: Adj (A)

Seurauksena on, että A: n, Adj (A): n vierematriisi on seuraava:

Sitten lasketaan matriisin A determinantti, det (A):

Lopuksi saadaan A käänteinen matriisi:

Viitteet

1. Anthony Nicolaides (1994) determinantit ja matriisit. Pass-julkaisu.
2. Awol Assen (2013) Tutkimus 3 × 3: n determinanttien laskennasta
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Johdatus lineaariseen algebraan. ESIC Toimitus.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Matematiikka: Opiskelijan selviytymisopas. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30 sekunnin matematiikka: Matematiikan 50 eniten mieltä laajentavaa teoriaa. Ivy Press Limited.
7. Matriisi. Lap Lambert akateeminen julkaisu.