HYPERBOLINEN PARABOLOIDI: MÄÄRITELMÄ, OMINAISUUDET JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Hyperbolinen paraboloidi on pinta, jonka yleinen yhtälö suorakulmaisessa koordinaatistossa (x, y, z) täyttää seuraavan yhtälön:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Nimi "paraboloidi" tulee siitä tosiasiasta, että muuttuja z riippuu muuttujien x ja y neliöistä. Adjektiivi "hyperbolinen" johtuu tosiasiasta, että kiinteissä z-arvoissa meillä on yhtälö hyperboolia. Tämän pinnan muoto on samanlainen kuin hevos satulan.

Kuva 1. Hyperbolinen paraboloidi z = x ² - y ². Lähde: F. Zapata Wolfram Mathematican avulla.

Kuvaus hyperbolisesta paraboloidista

Hyperbolisen paraboloidin luonteen ymmärtämiseksi tehdään seuraava analyysi:

1.- Otetaan tietty tapaus a = 1, b = 1, toisin sanoen paraboloidin Cartesian yhtälö pysyy muodossa z = x ² - y ².

2.- Tasoja pidetään ZX-tason suuntaisina, ts. Y = ctte.

3.- Kun y = ctte, se pysyy z = x ² - C, jotka edustavat paraboleja oksilla ylöspäin ja kärkipisteen XY-tason alapuolella.

Kuva 2. Käyräperhe z = x ² - C. Lähde: F. Zapata käyttäen Geogebraa.

4.- Kun x = ctte, se pysyy z = C - y ², jotka edustavat paraboleja haarojen ollessa alaspäin ja kärjen XY-tason yläpuolella.

Kuva 3. Käyräperhe z = C - y ². Lähde: F. Zapata Geogebran kautta.

5.- Kun z = ctte, se pysyy C = x ² - y ², jotka edustavat hyperboleja XY-tason suuntaisissa tasoissa. Kun C = 0, on olemassa kaksi viivaa (+45º ja -45º X-akseliin nähden), jotka leikkaavat lähtökohdassa XY-tasolla.

Kuva 4. Käyräperhe x ² - y ² = C. Lähde: F. Zapata käyttäen Geogebraa.

Hyperbolisen paraboloidin ominaisuudet

1.- Neljä eri pistettä kolmiulotteisessa tilassa määrittelevät yhden ja vain yhden hyperbolisen paraboloidin.

2.- Hyperbolinen paraboloidi on kaksinkertaisesti hallittu pinta. Tämä tarkoittaa, että huolimatta siitä, että se on kaareva pinta, hyperbolisen paraboloidin kunkin pisteen läpi kulkee kaksi erilaista viivaa, jotka kokonaan kuuluvat hyperboliseen paraboloidiin. Toinen pinta, joka ei ole taso ja jota hallitaan kaksinkertaisesti, on vallankumouksen hyperboloidi.

Juuri hyperbolisen paraboloidin toinen ominaisuus on mahdollistanut sen laajan käytön arkkitehtuurissa, koska pinta voidaan muodostaa suorista palkeista tai naruista.

Hyperbolisen paraboloidin toinen ominaisuus mahdollistaa sen vaihtoehtoisen määritelmän: se on pinta, jonka voi generoida liikkuvalla suoralla linjalla, joka on yhdensuuntainen kiinteän tason kanssa ja leikkaa kaksi kiinteää viivaa, jotka toimivat ohjaimena. Seuraava kuva selventää tätä hyperbolisen paraboloidin vaihtoehtoista määritelmää:

Kuva 5. Hyperbolinen paraboloidi on kaksinkertaisesti hallittu pinta. Lähde: F. Zapata.

Toimivia esimerkkejä

- Esimerkki 1

Osoita, että yhtälö: z = xy, vastaa hyperbolista paraboloidia.

Ratkaisu

X- ja y-muuttujille, jotka vastaavat karteesiakselien pyörimistä suhteessa Z-akseliin + 45º, sovelletaan muutosta. Vanhat x- ja y-koordinaatit muunnetaan uusiksi x 'ja y' seuraavien suhteiden mukaisesti:

x = x '- y'

y = x '+ y'

kun taas z-koordinaatti pysyy samana, ts. z = z '.

Korvaamalla yhtälössä z = xy meillä on:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Sovellettamalla erotuksen huomattavaa tuloa summalla, joka on yhtä suuri kuin neliöiden erotus, saamme:

z '= x' ² - y ' ²

joka vastaa selvästi alun perin annettua hyperbolisen paraboloidin määritelmää.

XY-akselin suuntaisten tasojen sieppaaminen hyperbolisen paraboloidin z = xy kanssa määrittää tasasivuiset hyperbolit, joilla on asymptootteja tasot x = 0 ja y = 0.

- Esimerkki 2

Määritä pisteiden A (0, 0, 0) läpi kulkevan hyperbolisen paraboloidin parametrit a ja b; B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) ja D (2, -1, 32/9).

Ratkaisu

Ominaisuuksiensa mukaan neljä pistettä kolmiulotteisessa tilassa määrittävät yhden hyperbolisen paraboloidin. Yleinen yhtälö on:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Korvaamme annetut arvot:

Pisteelle A meillä on 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², yhtälö, joka täyttyy riippumatta parametrien a ja b arvoista.

Korvaamalla kohta B saadaan:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Vaikka pisteessä C se pysyy:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Lopuksi kohtaan D saadaan:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Mikä on identtinen edellisen yhtälön kanssa. Viime kädessä yhtälöjärjestelmä on ratkaistava:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Toisen yhtälön vähentäminen ensimmäisestä antaa:

27/9 = 3 / a ^2, mikä tarkoittaa, että a ² = 1.

Samalla tavalla toinen yhtälö vähennetään ensimmäisen nelinkertaisuudesta, jolloin saadaan:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Mitä yksinkertaistetaan seuraavasti:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Lyhyesti sanottuna hyperbolisella paraboloidilla, joka kulkee annettujen pisteiden A, B, C ja D kautta, on Cartesian-yhtälö, jonka antaa:

z = x ² - (4/9) y ²

- Esimerkki 3

Hyperbolisen paraboloidin ominaisuuksien mukaan jokainen piste, joka sisältyy siihen, kulkee kaksi viivaa. Tapaukselle z = x ^ 2 - y ^ 2 selvitetään pisteen P (0, 1, -1) läpi kulkevien kahden linjan yhtälö, joka kuuluu selvästi hyperboliseen paraboloidiin, siten että myös näiden viivojen kaikki kohdat kuuluvat sama.

Ratkaisu

Käyttämällä neliöeron merkittävää tulosta, hyperbolisen paraboloidin yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Missä c on nollavakio.

Yhtälö x + y = cz ja yhtälö x - y = 1 / c vastaa kahta tasoa normaaleilla vektoreilla n = <1,1, -c> ja m = <1, -1,0>. Vektorituote mxn = <- c, -c, -2> antaa meille kahden tason leikkausviivan suunnan. Sitten yhdellä pisteen P läpi kulkevasta ja hyperboliseen paraboloidiin kuuluvasta juovasta on parametrinen yhtälö:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

C: n määrittämiseksi korvaamme pisteen P yhtälössä x + y = cz, jolloin saadaan:

c = -1

Samalla tavalla, mutta ottaen huomioon yhtälöt (x - y = kz) ja (x + y = 1 / k), meillä on viivan parametrinen yhtälö:

= <0, 1, -1> + s k = 1.

Yhteenvetona voidaan todeta, että kaksi riviä:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> ja = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Ne sisältyvät kokonaan pisteen (0, 1, -1) läpi kulkevaan hyperboliseen paraboloidiin z = x ² - y ².

Tarkisteeksi oletetaan, että t = 1 antaa meille pisteen (1,2, -3) ensimmäisellä rivillä. Sinun on tarkistettava, onko se myös paraboloidissa z = x ² - y ²:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Mikä vahvistaa, että se todellakin kuuluu hyperbolisen paraboloidin pintaan.

Hyperbolinen paraboloidi arkkitehtuurissa

Kuva 6. Valencian (Espanja) valtamerenkuva, lähde: Wikimedia Commons.

Hyperbolista paraboloidia ovat arkkitehtuurissa käyttäneet suuret avantgarde-arkkitehdit, joista espanjalaisen arkkitehdin Antoni Gaudí (1852–1926) ja etenkin espanjalaisen Félix Candelan (1910–1997) nimet erottuvat.

Alla on joitain hyperboliseen paraboloidiin perustuvia teoksia:

- Cuernavacan kaupungin kappeli (Meksiko), arkkitehti Félix Candelan teos.

- Valencian valtamerenkuva (Espanja), myös Félix Candela.

Viitteet

1. Matematiikan tietosanakirja. Hallittu pinta. Palautettu osoitteesta: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hyperbolinen paraboloidi. Palautettu osoitteesta: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolinen paraboloidi." MathWorldilta - Wolfram-verkkosivusto. Palautettu osoitteesta: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloidiksi. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloidiksi. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Hallittu pinta. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com