BOLZANON LAUSE: SELITYS, SOVELLUKSET JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Bolzanon lause todetaan, että jos funktio on jatkuva joka kohdassa suljetun välin ja on vakuuttunut siitä, että kuva "a" ja "b" (alle toiminto) on vastakkaiset merkit, niin silloin on ainakin yksi piste " c "avoimessa aikavälissä (a, b), siten, että" c ": ssä arvioitu funktio on yhtä suuri kuin 0.

Filosofi, teologi ja matemaatikko Bernard Bolzano ilmoitti tämän lauseen vuonna 1850. Tämä nykyisessä Tšekin tasavallassa syntynyt tutkija oli yksi historian ensimmäisistä matemaatikoista, joka teki muodollisen todistuksen jatkuvien toimintojen ominaisuuksista.

Selitys

Bolzanon lause tunnetaan myös väliarvolauseena, joka auttaa määrittämään todellisen muuttujan tiettyjen todellisten funktioiden erityiset arvot, erityisesti nollat.

Tietyssä funktiossa f (x) jatkuu, ts. Että f (a) ja f (b) on kytketty käyrällä, jossa f (a) on x-akselin alapuolella (se on negatiivinen) ja f (b) x-akselin yläpuolella (se on positiivinen) tai päinvastoin, x-akselilla on rajapiste, joka edustaa väliarvoa «c», joka on välillä «a» ja «b», ja arvoa f (c) on yhtä suuri kuin 0.

Kun analysoidaan graafisesti Bolzanon lausea, voidaan nähdä, että jokaisella välin määritellyllä jatkuvalla funktiolla f, jossa f (a) _* f (b) on pienempi kuin 0, kyseisestä funktiosta on ainakin yksi juuri "c". välillä (a, b).

Tämä lause ei määritä pisteiden lukumäärää tuossa avoimessa intervallissa, se vain toteaa, että pisteitä on vähintään yksi.

Esittely

Bolzanon lauseen todistamiseksi oletetaan menettämättä yleisyyttä, että f (a) <0 ja f (b)> 0; siten "a" ja "b" välillä voi olla monia arvoja, joille f (x) = 0, mutta vain yksi on osoitettava.

Aloitamme arvioimalla f keskipisteessä (a + b) / 2. Jos f ((a + b) / 2) = 0, todistus loppuu tähän; muuten f ((a + b) / 2) on positiivinen tai negatiivinen.

Yksi aikavälin puolikkaista valitaan siten, että äärimmäisyyksissä arvioidun funktion merkit ovat erilaisia. Tämä uusi aika on.

Nyt, jos f: n arvioitu keskipisteessä ei ole nolla, suoritetaan sama toimenpide kuin ennen; toisin sanoen, puolet tästä intervallista valitaan siten, että se täyttää merkkien ehdot. Olkoon tämä uusi väli.

Jos jatkat tätä prosessia, niin sinulla on kaksi sekvenssiä {an} ja {bn}, esimerkiksi:

{an} kasvaa ja {bn} vähenee:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Jos lasket kunkin aikavälin pituuden, sinun on:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

….

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Siksi raja, kun n lähestyy (bn-an) äärettömyyttä, on 0.

Käyttämällä sitä, että {an} kasvaa ja rajoittuu ja {bn} pienenee ja rajoittuu, meillä on arvo «c» sellainen, että:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

An rajoitus on "c" ja {bn} raja on myös "c". Siksi, ottaen huomioon mikä tahansa δ> 0, on aina "n" sellainen, että aikaväli sisältyy väliin (c-δ, c + δ).

Nyt on osoitettava, että f (c) = 0.

Jos f (c)> 0, niin koska f on jatkuva, on ε> 0 sellainen, että f on positiivinen koko ajanjakson ajan (c - ε, c + ε). Kuten edellä mainittiin, on kuitenkin arvo "n", joka f muuttaa kirjautumista sisään ja lisäksi sisältyy (c - ε, c + ε), mikä on ristiriita.

Jos f (c) <0, niin koska f on jatkuva, on olemassa ε> 0 sellainen, että f on negatiivinen koko ajanjakson ajan (c - ε, c + ε); mutta on olemassa arvo "n", joka f muuttaa kirjautumisen sisään. Osoittautuu, että se sisältyy (c - ε, c + ε), mikä on myös ristiriita.

Siksi f (c) = 0 ja tämän halusimme todistaa.

Mitä varten se on?

Graafisen tulkinnan perusteella Bolzanon lausea käytetään juurten tai nollan löytämiseen jatkuvassa funktiossa puolittamisen (likimääräisyyden) avulla, mikä on inkrementaalinen hakumenetelmä, joka jakaa välit aina 2: lla.

Sitten otetaan aikaväli tai missä merkin muutos tapahtuu, ja prosessia toistetaan, kunnes väli on pienempi ja pienempi, jotta voidaan lähestyä haluttua arvoa; eli arvoon, jonka funktio antaa 0.

Yhteenvetona voidaan todeta, että Bolzanon lauseen käyttämiseksi ja juurten löytämiseksi, funktion nollarajojen rajoittamiseksi tai yhtälön ratkaisemiseksi suoritetaan seuraavat vaiheet:

- Varmennetaan, onko f jatkuva toiminto aikavälillä.

- Jos väliä ei ole annettu, on löydettävä kohta, jossa toiminto on jatkuva.

- Varmennetaan, antavatko välin ääripäät vastakkaiset merkit, kun niitä arvioidaan f: ssä.

- Jos vastakkaisia ​​merkkejä ei saada, aikaväli on jaettava kahteen osaväliin keskipisteen avulla.

- Arvioi toiminto keskipisteessä ja tarkista, että Bolzanon hypoteesi täyttyy, jos f (a) _* f (b) <0.

- Löytyneen arvon merkinnästä (positiivinen tai negatiivinen) riippuen prosessia toistetaan uudella alivälillä, kunnes edellä mainittu hypoteesi täyttyy.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Määritä, onko funktiolla f (x) = x ² - 2, välein ainakin yksi todellinen ratkaisu.

Ratkaisu

Meillä on funktio f (x) = x ² - 2. Koska se on polynomi, se tarkoittaa, että se on jatkuva missä tahansa välillä.

Sitä pyydetään selvittämään, onko sillä aikavälillä todellinen ratkaisu, joten nyt on tarpeen korvata vain funktion aikavälin äärimmäisyydet, jotta voitaisiin tietää näiden merkki ja tietää, täyttävätkö ne erilaisuuden edellytyksen:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (negatiivinen)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (positiivinen)

Siksi merkki f (1) ≠ merkki f (2).

Tämä varmistaa, että välillä on ainakin yksi piste "c", jossa f (c) = 0.

Tässä tapauksessa "c" -arvo voidaan helposti laskea seuraavasti:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Siten √2 ≈ 1,4 kuuluu intervalliin ja toteuttaa sen, että f (√2) = 0.

Harjoitus 2

Osoita, että yhtälöllä x ⁵ + x + 1 = 0 on ainakin yksi todellinen ratkaisu.

Ratkaisu

Huomaa ensin, että f (x) = x ⁵ + x + 1 on polynomifunktio, mikä tarkoittaa, että se on jatkuva kaikissa reaalilukuissa.

Tässä tapauksessa välilyöntiä ei anneta, joten arvot on valittava intuitiivisesti, mieluiten lähellä nollaa, toiminnan arvioimiseksi ja merkkimuutosten löytämiseksi:

Jos käytät intervallia, sinun on:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Koska merkkimuutosta ei ole, prosessi toistetaan uudella aikavälillä.

Jos käytät intervallia, sinun on:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Tällä aikavälillä tapahtuu merkin muutos: f (-1) ≠ -merkin f (0) merkki, mikä tarkoittaa, että funktiolla f (x) = x ⁵ + x + 1 on ainakin yksi todellinen juuri «c». välillä, siten, että f (c) = 0. Toisin sanoen on totta, että x ⁵ + x + 1 = 0 on todellinen ratkaisu aikavälillä.

Viitteet

1. Bronshtein I, SK (1988). Matematiikan käsikirja insinöörille ja opiskelijoille.. Toimituksellinen MIR.
2. George, A. (1994). Matematiikka ja mieli. Oxford University Press.
3. Ilín V, PE (1991). Matemaattinen analyysi. Kolme osaa..
4. Jesús Gómez, FG (2003). Ylemmän perusasteen opettajat. Osa II. VIHAINEN.
5. Mateos, ML (2013). Analyysin perusominaisuudet R. Editoresissa, 20. joulukuuta.
6. Piskunov, N. (1980). Differentiaalinen ja integroitu laskenta..
7. Sydsaeter K, HP (2005). Matematiikka taloudellista analyysiä varten. Felix Varela.
8. William H. Barker, RH (toinen). Jatkuva symmetria: Euclidista Kleiniin. American Mathematical Soc.