TESSELLAATIOT: OMINAISUUS, TYYPIT (SÄÄNNÖLLISET, EPÄSÄÄNNÖLLISET), ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Tilings ovat päällystetyt pinnat yhden tai useamman kuvioissa kutsutaan tesserae. Niitä on kaikkialla: kaduilla ja kaikenlaisissa rakennuksissa. Laatat tai laatat ovat litteitä kappaleita, yleensä monikulmioita, joissa on yhteneväisiä tai isometrisiä kopioita ja jotka on sijoitettu säännöllisen kuvion mukaan. Tällä tavalla paljastuneita tiloja ei jää ja laatat tai mosaiikit eivät ole päällekkäin.

Siinä tapauksessa, että käytetään yhden tyyppistä mosaiikkityyppiä, jonka muodostaa säännöllinen monikulmio, silloin tapahtuu säännöllinen tesselöinti, mutta jos käytetään kahta tai useampaa tyyppistä säännöllistä monikulmioa, niin se on puolisääntöinen tessellaatio.

Kuva 1. Laattalattia, jossa on epäsäännöllinen kokoonpano, koska suorakulmut ovat epäsäännöllisiä monikulmioita, vaikka neliöt ovatkin. Lähde: Pixabay.

Lopuksi, kun monikulmio, jonka tessellaatio muodostaa, ei ole säännöllinen, niin se on epäsäännöllinen tessellaatio.

Yleisin tessellaation tyyppi on suorakulmainen ja erityisen neliönmuotoinen mosaiikki. Kuvassa 1 meillä on hyvä esimerkki.

Teslaation historia

Tessellaatiota on käytetty tuhansia vuosia eri kulttuurien ja uskontojen palatsien ja temppelien lattioiden ja seinien peittämiseen.

Esimerkiksi, sumerien sivilisaatio, joka kukoisti noin 3500 eKr. Mesopotamiasta etelään, Eufratin ja Tigrisjoen välissä, käytti arkkitehtuurissaan teellaatioita.

Kuva 2. Sumerin tessellaatiot Istar-portilla. Lähde: Wikimedia Commons.

Tessellaatiot ovat herättäneet myös kaiken ikäisten matemaatikkojen kiinnostuksen: alusta Archimedesista 3. vuosisadalla eKr., Sen jälkeen Johannes Kepler vuonna 1619, Camille Jordan vuonna 1880, nykyaikaan Roger Penrose: n kanssa.

Penrose loi epäjaksoisen tesselloinnin, joka tunnetaan nimellä Penrose tessellaatio. Nämä ovat vain muutamia tutkijoiden nimiä, jotka ovat osallistuneet paljon tessellointiin.

Säännölliset teetelot

Säännöllisiä testelöintejä tehdään vain yhden tyyppisellä säännöllisellä polygonilla. Toisaalta, jotta tessellaatiota voidaan pitää säännöllisenä, kaikissa tason pisteissä:

-Pitkä monikulmion sisäosaan

-Tai kahden vierekkäisen monikulmion reunaan

- Viime kädessä se voi kuulua vähintään kolmen monikulmion yhteiseen kärkeen.

Edellä esitetyillä rajoituksilla voidaan osoittaa, että vain tasasivuiset kolmiot, neliöt ja kuusikulmut voivat muodostaa säännöllisen tessellaation.

nimistö

Tessellaatioita varten on nimikkeistö, joka koostuu myötäpäivään suunnatun pisteen erottamisesta niiden monikulmioiden sivujen lukumäärästä, jotka ympäröivät tesselloinnin jokaista solmua (tai kärkeä), aina aloittaen monikulmion kanssa, jolla on pienin luku puolin.

Tätä nimikkeistöä sovelletaan säännöllisiin ja osittain säännöllisiin testeleihin.

Esimerkki 1: Kolmiomainen tessellaatio

Kuvio 3 esittää säännöllistä kolmionmuotoista tessellaatiota. On huomattava, että jokainen kolmion tessellaation solmu on kuuden tasasivuisen kolmion yhteinen kärkipiste.

Tapa merkitä tämäntyyppinen tessellaatio on 3.3.3.3.3.3, jota myös merkitään 3 ⁶.

Kuva 3. Säännöllinen kolmionmuotoinen tessellaatio 3.3.3.3.3.3. Lähde: wikimedia commons

Esimerkki 2: Neliösuoritus

Kuvio 4 esittää säännöllisen tessellaation, joka koostuu vain neliöistä. Olisi huomattava, että kutakin tessellaation solmua ympäröi neljä yhteneväistä neliötä. Tämän tyyppiseen neliömäiseen telasointiin käytetty merkintä on: 4.4.4.4 tai vaihtoehtoisesti 4 ⁴

Kuva 4. Neliösuoritus 4.4.4.4. Lähde: wikimedia commons.

Esimerkki 3: Kuusikulmainen tessellaatio

Kuusikulmainen tessellation kukin solmu on ympäröi kolme säännöllinen kuusikulmioita, kuten on esitetty kuviossa 5. nimistö säännöllinen kuusikulmainen tessellation on 6.6.6 tai vaihtoehtoisesti 6 ³.

Kuva 5. Kuusikulmainen tessellaatio 6.6.6. Lähde: wikimedia commons.

Puolirenkaiset teesellaatiot

Puolisäännölliset tai Archimedean tessellaatiot koostuvat kahdesta tai useammasta säännöllisestä monikulmityypistä. Jokainen solmu on ympäröity monikulmityypeillä, jotka muodostavat tessellaation, aina samassa järjestyksessä, ja reunaolosuhteet jaetaan täysin naapurin kanssa.

On kahdeksan puoliregulaarista testausta:

1. 3.6.3.6 (kolmikulmainen tessellaatio)
2. 3.3.3.3.6 (tylppä kuusikulmainen tessellaatio)
3. 3.3.3.4.4 (pitkänomainen kolmionmuotoinen tessellaatio)
4. 3.3.4.3.4 (tylppä neliömäinen tessellaatio)
5. 3.4.6.4 (rhombi-tri-kuusikulmainen tessellaatio)
6. 4.8.8 (katkaistu neliön tessellaatio)
7. 3.12.12 (katkaistu kuusikulmainen tessellaatio)
8. 4.6.12 (katkaistu kolmio kuusikulmainen tessellaatio)

Seuraavassa on esitetty joitain esimerkkejä puolisäännöllisistä testelöinnistä.

Esimerkki 4: Kolmikulmainen tessellaatio

Se koostuu tasasivuisista kolmioista ja säännöllisistä kuusikulmioista 3.6.3.6 -rakenteessa, mikä tarkoittaa, että tessellaation solmua ympäröi (yhden kierroksen loppuun saattamiseen) kolmio, kuusikulmio, kolmio ja kuusikulmio. Kuvio 6 esittää tällaisen tessellaation.

Kuva 6. Kolmikulmainen tessellaatio (3.6.3.6) on esimerkki puolisäännöllisestä tesselloinnista. Lähde: Wikimedia Commons.

Esimerkki 5: tylppä kuusikulmainen tessellaatio

Kuten edellisessä esimerkissä, myös tämä koostuu kolmioista ja kuusikulmioista, mutta niiden jakauma solmun ympärillä on 3.3.3.3.6. Kuvio 7 kuvaa selvästi tämän tyyppistä tessellaatiota.

Kuva 7. Tylsä kuusikulmainen tessellaatio muodostuu kuusikulmiosta, jota ympäröi 16 kolmiota 3.3.3.3.6 -kokoonpanossa. Lähde: Wikimedia Commons.

Esimerkki 6: rhombi-tri-kuusikulmainen tessellaatio

Se on kolmioista, neliöistä ja kuusikulmioista koostuva tessellaatio muodossa 3.4.6.4, joka on esitetty kuvassa 8.

Kuva 8. Osittain säännöllinen tessellaatio, joka koostuu kolmiosta, neliöstä ja kuusikulmasta 3.4.6.4-kokoonpanossa. Lähde: Wikimedia Commons.

Epäsäännölliset teetelaatiot

Epäsäännöllisiä risteyksiä ovat sellaiset, jotka muodostuvat epäsäännöllisistä monikulmioista tai säännöllisistä monikulmioista, mutta jotka eivät täytä kriteeriä, jonka mukaan solmu on ainakin kolmen monikulmion kärki.

Esimerkki 7

Kuvio 9 esittää esimerkkiä epäsäännöllisestä tesselloinnista, jossa kaikki polygonit ovat säännöllisiä ja yhtenäisiä. Se on epäsäännöllinen, koska solmu ei ole vähintään kolmen neliön yhteinen kärkipiste ja on myös vierekkäisiä neliöitä, jotka eivät jaa reunaa kokonaan.

Kuva 9. Vaikka kaikki laatat ovat yhdenmukaisia ​​neliöitä, tämä on selvä esimerkki epäsäännöllisestä tesselloinnista. Lähde: F. Zapata.

Esimerkki 8

Rinnakkaiskaavio laatat tasaisen pinnan, mutta ellei se ole neliö, se ei voi muodostaa säännöllistä tessellaatiota.

Kuva 10. Rinnakkaiskuvien muodostama tessellaatio on epäsäännöllinen, koska sen mosaiikit ovat epäsäännöllisiä monikulmioita. Lähde: F. Zapata.

Esimerkki 9

Epäsäännölliset kuusikulmiot, joissa on keskisymmetria, tekevät tasosta tasaisen pinnan seuraavan kuvan mukaisesti:

Kuva 11. Kuusikulmiot, joissa keskiosymmetria, vaikka ne eivät olisi säännöllisiä, tasoittavat tasoa. Lähde: F. Zapata.

Esimerkki 10: Kairon tessellaatio

Se on erittäin mielenkiintoinen tessellaatio, joka koostuu viisikulmioista, joiden sivut ovat samanpituisia, mutta epätasaisesti kulmat, joista kaksi on suora ja kolmella muulla on molemmat 120º.

Sen nimi tulee siitä tosiasiasta, että tämä tessellaatio löytyy joidenkin Egyptin Kairon kadujen päällysteestä. Kuvio 12 esittää Kairon tessellaatiota.

Kuva 12. Kairon Tessellaatio. Lähde: Wikimedia Commons.

Esimerkki 11: Al-Andalus-tessellaatio

Jotkin Andalusian ja Pohjois-Afrikan osien tessellaatioon on ominaista geometria ja epigrafia koriste-elementtien, kuten kasvillisuuden, lisäksi.

Alhambran kaltaisten palatseiden tessellaatio koostui laatoista, jotka koostuivat monien värien keraamisista kappaleista, joissa oli useita (jos ei äärettömiä) muotoja, jotka vapautuivat geometrisina kuvioina.

Kuva 13. Alhambran palatsin testaus. Tartaglia / Julkinen

Esimerkki 12: videoiden pelaaminen videopeleissä

Tunnetaan myös nimellä puhelu, se on yksi videopelien suosituimmista uutuuksista. Kyse on tekstuurien luomisesta simulaattorissa esiintyvien eri skenaarioiden kokoamisen simuloimiseksi.

Tämä heijastaa selvästi sitä, että näiden päällysteiden kehitys jatkuu ylittäen todellisuuden rajat.

Viitteet

1. Nauti matematiikasta. Tessellations. Palautettu osoitteesta: enjoymatematicas.com
2. Rubinos. Tessellaatiot ratkaisivat esimerkkejä. Palautettu osoitteesta: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Demiregular tessellation." Weisstein, Eric W, toim. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Tessellation. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Säännöllinen tessellaatio. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com