ALGEBRALLISET JOHDANNAISET (ESIMERKKEINÄ) - MATEMATIIKKA - 2025

Algebrallinen johdannaiset koostuvat tutkimuksen johdannaisen tapauksessa algebrafunktiot. Johdannaisen käsitteen alkuperä juontaa juurensa antiikin Kreikasta. Tämän käsitteen kehittämisen taustalla oli tarve ratkaista kaksi tärkeää ongelmaa, toinen fysiikassa ja toinen matematiikassa.

Fysiikassa johdannainen ratkaisee liikkuvan kohteen hetkellisen nopeuden määrittämisongelman. Matematiikassa sen avulla voit löytää käyrän tangenttilinjan tietyssä pisteessä.

Vaikka johdannaisen avulla sekä sen yleistyksillä ratkaistaan ​​todellakin monia muita ongelmia, tulokset syntyivät sen käsitteen käyttöönoton jälkeen.

Erokerroksen edelläkävijät ovat Newton ja Leibniz. Ennen muodollisen määritelmän antamista aiomme kehittää sen taustalla olevan idean matemaattisesta ja fyysisestä näkökulmasta.

Johdannainen käyrän tangenttilinjan kaltevuus

Oletetaan, että funktion y = f (x) kuvaaja on jatkuva kuvaaja (ilman piikkejä, huippuja tai aukkoja), ja olkoon A = (a, f (a)) kiinteä piste siihen. Haluamme löytää linjan yhtälön funktion f kuvaajalle pisteessä A.

Otetaan kaikki muut pisteet P = (x, f (x)) kuvaajassa, lähellä pistettä A ja piirretään A: n ja P: n läpi kulkeva kiinnitysviiva. Siirtoviiva on linja, joka leikkaa käyrän kuvaajan yhdellä tai enemmän pisteitä.

Halutun tangenttiviivan saamiseksi meidän on laskettava vain kaltevuus, koska jo viivalla on piste: piste A.

Jos siirrämme pistettä P kuvaajaa pitkin ja päästämme lähemmäksi ja lähemmäksi pistettä A, aiemmin mainittu secant-viiva lähestyy tangenttiviivaa, jonka haluamme löytää. Kun raja otetaan, kun "P taipuu A", molemmat viivat osuvat yhteen, siksi myös niiden kaltevuus.

Kiinnityslinjan kaltevuus annetaan

Sanominen, että P lähestyy A: ta, vastaa sanomista, että "x" lähestyy "a". Siten tangenttilinjan kaltevuus f: n kuvaajaan pisteessä A on yhtä suuri kuin:

Yllä oleva lauseke on merkitty f '(a): lla, ja se määritellään funktion f johdannaiseksi pisteessä a. Siksi näemme, että analyyttisesti funktion johdannainen pisteessä on raja, mutta geometrisesti se on tangenttiviivan kaltevuus pisteen funktion kuvaajaan.

Nyt tarkastelemme tätä käsitystä fysiikan näkökulmasta. Saavumme samaan ilmaisuun edellisestä rajasta, tosin eri tiellä, saaden siten määritelmän yksimielisyyden.

Johdannainen liikkuvan esineen hetkellisellä nopeudella

Katsotaanpa lyhyt esimerkki hetkellisestä nopeudesta. Kun esimerkiksi sanotaan, että määränpäähän saavuttava auto teki niin nopeudella 100 km tunnissa, mikä tarkoittaa, että tunnissa se matkusti 100 km.

Tämä ei tarkoita välttämättä sitä, että koko tunnin ajan auto oli aina 100 km, auton nopeusmittari voisi joskus merkitä vähemmän tai enemmän. Jos sinulla oli tarve pysähtyä liikennevalossa, nopeus tuolloin oli 0 km. Tunnin kuluttua matka oli kuitenkin 100 km.

Tätä kutsutaan keskimääräiseksi nopeudeksi, ja se annetaan ajetun matkan ja kuluneen ajan suhteessa, kuten olemme juuri nähneet. Hetkellinen nopeus puolestaan ​​on se, joka merkitsee auton nopeusmittarin neulaa tietyllä hetkellä (ajankohtana).

Katsotaanpa tätä nyt yleisemmin. Oletetaan, että esine liikkuu viivaa pitkin ja että tätä siirtymää edustaa yhtälö s = f (t), jossa muuttuja t mittaa aikaa ja muuttuja s siirtymän ottaen huomioon sen alkamisen hetkellinen t = 0, jolloin se on myös nolla, ts. f (0) = 0.

Tätä toimintoa f (t) kutsutaan sijaintifunktioksi.

Lauseketta haetaan objektin hetkelliselle nopeudelle kiinteällä hetkellä "a". Tällä nopeudella merkitsemme sitä V (a): lla.

Olkoon mikä tahansa välitön lähellä hetkeä "a". Objektin sijainnin muutos annetaan f (t) -f (a): n välillä aikavälillä “a” ja “t”.

Keskimääräinen nopeus tällä aikavälillä on:

Mikä on likimääräinen hetkellinen nopeus V (a). Tämä likiarvo on parempi, kun t lähenee "a": ta. Täten,

Huomaa, että tämä lauseke on sama kuin edellisessä tapauksessa saatu, mutta eri näkökulmasta. Tätä kutsutaan funktion f johdannaiseksi pisteessä "a" ja sitä merkitään f '(a), kuten edellä todettiin.

Huomaa, että kun muutos tehdään h = xa, meillä on, että kun "x" on "a", "h" on 0 ja edellinen raja muutetaan (vastaavasti):

Molemmat lausekkeet ovat vastaavat, mutta joskus on parempi käyttää yhtä kuin toista, tapauksesta riippuen.

Funktion f johdannainen missä tahansa kohdassa "x", joka kuuluu sen verkkotunnukseen, määritellään sitten yleisemmällä tavalla

Yleisin merkintä funktion y = f (x) johdannaisen esittämiseksi on juuri näkemämme (f 'tai y'). Toinen laajalti käytetty merkintä on kuitenkin Leibnizin merkintä, joka esitetään jollain seuraavista ilmaisuista:

Koska johdannainen on olennaisesti raja, sitä voi olla tai olla, koska rajoja ei aina ole. Jos sitä on, kyseisen funktion sanotaan olevan erotettavissa annetussa pisteessä.

Algebrallinen toiminto

Algebrallinen funktio on polynomien yhdistelmä lisäyksen, vähennysten, tuotteiden, kertoimien, voimien ja radikaalien avulla.

Polynomi on muodon ilmaisu

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Missä n on luonnollinen luku ja kaikille _i, i = 0,1,…, n, ovat rationaalilukuja ja _n ≠ 0. Tässä tapauksessa tämän polynomin asteen sanotaan olevan n.

Seuraavat ovat esimerkkejä algebrallisista toiminnoista:

Eksponentiaaliset, logaritmiset ja trigonometriset funktiot eivät sisälly tähän. Seuraavaksi näkemämme johdannaissäännöt koskevat yleisesti funktioita, mutta rajoitamme itseämme ja sovellamme niitä algebrallisten funktioiden tapauksessa.

Ohitussäännöt

Vakion johdannainen

Väittää, että vakion johdannainen on nolla. Eli jos f (x) = c, niin f '(x) = 0. Esimerkiksi vakiofunktion 2 johdannainen on yhtä suuri kuin 0.

Voiman johdannainen

Jos f (x) = x ⁿ, niin f '(x) = nx ^n-1. Esimerkiksi johdannainen x ³ on 3x ². Tämän seurauksena saamme, että identiteettifunktion f (x) = x johdannainen on f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Toinen esimerkki on seuraava: anna f (x) = 1 / x ², niin f (x) = x ^-2 ja f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3.

Tämä ominaisuus on pätevä myös juurten suhteen, koska juuret ovat rationaalisia voimia ja yllä olevia voidaan soveltaa myös siinä tapauksessa. Esimerkiksi neliöjuuren johdannainen annetaan

Lisäys- ja vähennysjohdannaiset

Jos f ja g ovat erotettavissa olevia funktioita x: ssä, niin summa f + g on myös erotettavissa ja on vakuutettu, että (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Samoin meillä on (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Toisin sanoen summan (vähennys) johdannainen on johdannaisten summa (tai vähennys).

esimerkki

Jos h (x) = x ² + x-1, niin

h '(x) = (x ²) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Johdettu tuotteesta

Jos f ja g ovat erotettavissa olevat funktiot x: ssä, niin myös fg on erotettavissa x: ssä ja on totta, että

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Seurauksena seuraa, että jos c on vakio ja f on erotettavissa oleva funktio x: ssä, niin cf on myös erotettavissa x: ssä ja (cf) '(x) = cf' (X).

esimerkki

Jos f (x) = 3x (x ² +1), niin

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Osamäärän johdannainen

Jos f ja g ovat erotettavissa x: llä ja g (x) ≠ 0, niin f / g on myös erotettavissa x: llä, ja on totta, että

Esimerkki: jos h (x) = x ³ / (x ^{2 -} 5x), niin

h '(x) = / (x ^{5 - 5} x) ² = / (x ^{5 - 5} x) ².

Ketjusääntö

Tämä sääntö mahdollistaa funktion koostumuksen johtamisen. Sano seuraava: jos y = f (u) on erotettavissa u: lla, yu = g (x) on erotettavissa x: llä, niin yhdistelmäfunktio f (g (x)) on erotettavissa x: llä, ja on totta, että '= f '(g (x)) g' (x).

Toisin sanoen yhdistelmäfunktion johdannainen on ulkoisen funktion (ulkoinen johdannainen) ja sisäisen funktion (johdannainen) johdannainen.

esimerkki

Jos f (x) = (x ⁴ -2x) ³, niin

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Tuloksia on myös funktion käänteisen johdannaisen laskemiseksi, samoin kuin yleistyminen korkeamman asteen johdannaisiksi. Sovellukset ovat laajat. Niistä erottuu sen hyödyllisyys optimointitehtävissä sekä maksimi- ja minimitoiminnot.

Viitteet

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferentiaalinen lasku. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Laskenta 4000. Toimituksellinen progreso.
3. Castaño, HF (2005). Matematiikka ennen laskentaa. Medellinin yliopisto.
4. Eduardo, NA (2003). Johdatus laskentaan. Kynnysversiot.
5. Fuentes, A. (2016). PERUSMATTIA. Johdanto laskentaan. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, ja Varberg, DE (2007). Laskeminen. Pearson koulutus.
7. Saenz, J. (2005). Differentiaalilaskenta (toinen painos). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB, ja Weir, MD (2006). Laskenta: useita muuttujia. Pearson koulutus.